La historia está llena de intentos por cambiar un elemento de la naturaleza en otro, ya sea mediante alquimia, magia o ciencia. Einstein, desde luego, proporcionó algo de la inspiración con su famosa ecuación que da a conocer cómo la materia se puede transformar en energía. Pero en su mayoría, estos intentos de transmutación sólo fueron esfuerzos vanos por convertir al plomo en oro- o, según el dicho, por hacer una bolsa de seda con la oreja de una marrana-. Junto con estos esfuerzos, hubo otros de inclinación más geométrica, cuando se intentó convertir círculos en cuadrados usando cualquier método que pudiera imaginarse.
Cuadrar el círculo es uno de los pocos problemas matemáticos que han llegado a ser común fuera de los ámbitos matemáticos profesionales.
Incluso si la gente en las calles pocas veces sabe exactamente qué significa, es probable que haya oído del problema y sabe que resolverlo es difícil o quizás imposible. Es un hecho que la frase cuadrar el círculo se ha filtrado en nuestro lenguaje cotidiano, aludiendo a que determinado proyecto está condenado al fracaso.

Alrededor del año 420 a.c., Hipas de Elis descubrió una curva denominada cuadratriz, pero no fue hasta el año 335 a.C. que Dinostrato usó la cuadratriz para construir un cuadrado que tuviera la misma área que un círculo dado, lo cual no contó como verdaderamente haber «cuadrado el círculo» en el sentido euclidiano, ₁₀ a causa de que se requiere un número infinito de pasos para crear la cuadratriz.

Cuadrar el círculo consiste en construir, ya sea geométrica o numéricamente, un cuadrado que tenga con exactitud la misma área que un círculo dado. (A este problema también se le conoce como la cuadratura del círculo.) Los griegos de la antigüedad plantearon el problema de la cuadratura del círculo sujeto a dos condiciones: primera, en el método de resolución sólo deben usarse regla y compás, para que la prueba se pueda reducir por completo a los teoremas de Euclides;₁₁ segunda, debe llegarse a la solución sin tener que usar un número infinito de pasos. Resulta que es fácil cuadrar el círculo si se elimina cualquiera de estas dos restricciones. Por ejemplo, si se recurre a las matemáticas superiores, como el cálculo, o a curvas de orden superior, como una cuadratriz o una espiral, se puede, en efecto, construir un cuadrado de igual área que un círculo dado de manera bastante sencilla.

Arquímedes demostró que el área de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo que tiene uno de sus catetos igual al radio del círculo y el otro cateto igual a la circunferencia del círculo, a causa de lo que mucha gente ha intentado cuadrar el círculo encontrando la circunferencia del círculo a partir de su diámetro (lo que frecuentemente se denomina la rectificación del círculo). Por supuesto que si se conoce con precisión el diámetro del círculo y su circunferencia, se conoce a pi.

Augustus de Morgan apodo a San Vito el santo patrono de los cuadradores del círculo. En su obra Budget of Paradoxes, De Morgan escribió que San Vito «dirige a sus devotos en una danza carente de significado y que nunca termina». También señalo que con frecuencia se representa al santo al lado de un gallo y añadió: «Luego, después del gallus gallinaceus [el gallo de corral] mismo, no hay otro canto como el de un cuadrador del círculo»

Sin embargo, hace dos mil años, nadie sabía que sería imposible indicar con toda precisión la razón entre la circunferencia y su diámetro, y se volvió relativamente común en la antigua Grecia intentar cuadrar el círculo. Los griegos incluso tenían una palabra, tetragonixein con la cual se denominaba a alguien que se ocupaba de la cuadratura del círculo.

Pero para le siglo XVI- no mucho después de que el cardenal Nicolás de Cusa declarara que efectivamente había cuadrado el círculo (y subsecuentemente se le mostraron los errores en su proceder)- los matemáticos se estaban dando cuenta de que era en vano intentar cuadrar el círculo. Quizás en este punto fue cuando empezó la escisión entre los verdaderos estudiantes de matemáticas y los simples «cuadradores del círculo»; donde Viète, Snell, Wallis, Newton y otros tomaron el camino más seguro o positivo de entender cada vez mejor la naturaleza infinita de pi, los cuadradores del círculo obstinadamente se atuvieron ala seductiva creencia de que si sólo trabajaban lo suficiente, podrían resolver –de una vez y para siempre- este antiguo problema.

Orontius, Fineus, el gran filósofo Joseph Scaliger, Longomontanus de Copenhage y Gregor y de St. Vincente se encuentran entre los muchos matemáticos de los siglos XVI y XVII cuyas «demostraciones»erróneas fueron refutadas una por una. Incluso el bien conocido filósofo inglés Thomas Hobbes dio a conocer su cuadratura del círculo en su De Problematis Physicis (1668), obra en la que mostró que pi es igual a 3 1/8 (una solución común de los cuadradores del círculo). Más tarde, una vez que su demostración fue claramente rechazada, Hobbes intentó defender su absurda posición poniendo en duda los principios fundamentales de la geometría como el teorema de Pitágoras.

Para 1775 había tanta gente tratando de obtener validación para sus métodos de cuadrar el círculo que la Academia Francesa de Ciencias aprobó un resolución de ya no continuar examinando más las llamada soluciones de la cuadratura del círculo. Al mismo tiempo, esta Academia excluyó otras tareas imposibles: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y las máquinas de movimiento perpetuo (artefactos que crean tanta energía como la que consumen para funcionar, lo cual les permite funcionar por siempre).

El famoso poeta inglés Alexander Pope escribió, en su poema de 1743, Dunciad:

 

Las notas de autor de Pope explican que este poema se refiere a «los desmedidos e infructuosos intentos por cuadrar el círculo»

En realidad, tratar de cuadrar el círculo es muy similar a encontrar un método para el movimiento perpetuo. A primera vista, cada uno de estos problemas parece ser uno que debiera tener solución, se estuviera en posibilidades de pensar lo suficiente en todos sus detalles. Es este tipo de razonamiento lo que ha impulsado a la gente alrededor del mundo creencia equivocada de que cuadra el círculo es un problema central de las matemáticas. Algunos han llegado hasta el extremo de considerarlo el gran fin y el objeto de la geometría, y sostienen han llegado hasta el extremo de considerarlo el gran fin y el objeto de la geometría, y sostienen que si precisamente este problema se resolvería constituiría para la humanidad un gran salto adelante. Y quizás lo sería, si sólo fuese posible (lo cual, desde luego, no lo es).

Otra concepción errónea es que hay un grandioso premio monetario esperando a quien logre exitosamente cuadrar el círculo. En su libro a Budget of Paradoxes, el crítico científico del siglo XIX Augustus de Morgan escribió acerca de un jesuita quien viajó de Sudamérica a Inglaterra par reclamar su premio por cuadrar el círculo, y también de un llamado M. de Vausenville, quien tomó acción legal contra la Academia Francesa de Ciencias para recuperar un premio que él juzgaba era suyo gracias a su solución. Por supuesto, incluso su los métodos hubiesen sido correctos (lo cual es imposible), nunca existió el ofrecimiento de un premio por la solución. Incluso hoy en día, se reciben frecuentes reportes de todas partes del globo terráqueo de que alguien en algún lugar ha encontrado una solución al problema de cuadrar el círculo.

Pero la mayoría de los ciclómetros (aquellos que caen bajo el hechizo de querer medir el círculo) están totalmente convencidos- tan increíble como pueda parecer- de que han encontrado la clave de un antiguo problema. Y entonces, con la pasión de aquellos que de pronto encontraron la religión, hacen proselitismo y defienden su «verdad» ante cualquiera que éste dispuesto a escucharlos.

Underwood Dudley, en su precioso libro Mathetical Cranks, escribió acerca de un tal J.V., quien en noviembre de 1982 informó que había calculado que pi era «exactamente 3.0625». Luego, un mes después, escribió:

Siendo la «cuadratura de un círculo» el logro matemático más elevado de la humanidad, yo mismo, con un profundo sentido de su importancia científica, de una vez y para siempre de una manera definitiva doy fe de que la «cuadratura de un círculo» se puede tomar como un hecho verdadero.

Siendo el primer hombre en haber trabajado en el área de un círculo, matemáticamente, sin valor de «pi», doy fe además de que el verdadero valor de la razón de la «circunferencia de un círculo» a su diámetro es «pi», esto es, el valor total de 2.91421351481511+, no hay pero que valga, no más que un poco menos, punto.

Por supuesto, uno de los rasgos más fascinantes de los cuadradores del círculo es su resistente naturaleza, que les permite soportar hasta los argumentos más profundos que refuten su postura. A veces, un ciclómetro sostiene la fe de que su solución es correcta como si fuera una espada que se enfrenta a la razón. Por ejemplo, en su libro The Quadrature of the Cicle, publicado en 1874, John A. Parker ideó argumentos autosatisfactorios pero incorrectos de que «la circunferencia de un círculo es la línea fuera del círculo que lo encierra completamente», y luego señaló que todos los valores de los demás para pi son incorrectos porque «por esta diferencia, con su aproximación, los geómetras cometen un error en el sexto lugar decimal».

Algunos argumentos de esta clase pueden ser convincentes, aunque permanecen sin justificación válida. Muchos ciclómetros que preparan cuidadosas soluciones geométricas (usando sólo compás y regla, sin fórmulas) argumentan que sus métodos son más puros que los números gracias a que están trabajando en su plano más levado de razonamiento. Por lo tanto, cuando sus soluciones se usan para tratar de determinar algo tan simple como la circunferencia de un círculo con un diámetro de 1, se vuelven hoscos e insisten en que trabajan con números sólo enturbia el agua. Más bien pareciera que el agua enturbiada se encuentra entre sus orejas y no en los dígitos.

Debiera parecer que es más fácil cuadrar el círculo que evitar el contacto con un matemático. Augustus de Morgan, A Budget of Paradoxes.

Una de las técnicas favoritas de los cuadradores numéricos del círculo es la de reductio ad absursum, en la que se hace una suposición al inicio de la demostración y después se muestra por qué cualquier otra respuesta sería absurda. Por ejemplo, supóngase que pi es igual a 3.125 y luego procédase a mostrar que el valor aceptado es de 3.1416+ sería imposible. Desafortunadamente, las demostraciones erróneas de los cuadradores del círculo con frecuencia se construyen de tal manera que el valor original es correcto sin importar cuál sea el valor que inserten. Incluso si hubiera hecho al principio la suposición de que pi fuera igual a 47, habrían «descubierto» que pi era mucho mayor de lo que previamente se había pensado –más de quince veces mayor, sin que esto nos cause asombro-. Cierto, la demostración de que pi es irracional (que no se puede expresar como una razón de enteros, según lo probó Lambert en 1761) fue un golpe para algunos cuadradores del círculo, pero fue fatal a cauda de que aún es posible construir geométricamente algunos números irracionales. Por ejemplo, es relativamente fácil dibujar, usando sólo regla y compás, la relación entre el lado y la diagonal de un cuadrado, a pesar de que ésta es un número irracional .

En realidad, no fue hasta 1882-cuando Lindemann demostró que pi es un número trascendente- que de manera concluyente se pudo desechar la actividad de cuadrar el círculo. Ya se había mostrado que sólo las formulas algebraicas reducibles a segundo orden se pueden construir geométricamente con regla y compás. Cuando Lindemann probó la naturaleza trascendente de , mostró que no existe ecuación algebraica finita que pueda describir el número, y por lo tanto que no es posible construirlo en el marco de las restricciones euclidianas clásicas.
Pero una vez más, intentar convencer a alguien que ya ha tomado una decisión resulta difícil. En su libro Mathematical Cranks, Underwood Dudley informa también acerca de que un ciclómetro escribió que «la única posición de en matemáticas es su relación con las series infinitas [y] que no tiene relación con el círculo… Lindemann proclamó que la cuadratura del círculo es imposible; pero la demostración de Lindemann es engañosa, pues usa número (que son aproximados en sí mismos) en su demostración ». ¿Cómo se puede argumentar contra esa lógica?

La cuadratura del círculo reviste gran importancia para el geómetra-cosmologista a causa de que el círculo para él representa el espíritu –espacio puro, no revelado, mientras que el cuadrado representa el mundo manifiesto y entendible. Cuando se obtiene una aproximación a la igualdad entre el círculo y el cuadrado, lo infinito puede expresar sus dimensiones o cualidades a través de lo finito. Robert Lawlor, Sacred Geoemtry, 1982.

También existe el tipo de cuadrador del círculo para quien una buena regla graduada y una cuidadosa medición son suficientes para satisfacer su sed por la verdad absoluta. Por ejemplo,  Augustus de Morgan narró el relato del hombre que declaró: «Pensé que era muy extraño que tantos eruditos en todas las épocas hubieran fallado en encontrar la verdadera razón, y entonces me propuse intentarlo yo mismo.» Acto seguido, este hombre hizo rodar un disco de 12 pulgadas de diámetro es «exactamente» 3.140625.

El problema de discutir con este tipo de cuadradores del círculo es que pueden hacernos ver  que tienen la razón. Es bastante cierto que es difícil hacer coincidir incluso las precisión de 22/7 (3.143) en la mayor parte del trabajo mecánico que implica círculos en el mundo real, y 3 1/8 (3.125), lo cual es significativamente más fácil de calcular.

Metón: Con una regla me puse a trabajar para hacer que el círculo tuviera cuatro esquinas. Aristófanes, Las aves (414 a.C.)

Pos supuesto, los cuadradores del círculo mantienen un arsenal de excusas en cuanto a por qué sus soluciones son descartadas tan rápido por prominentes matemáticos. Una teoría de la conspiración arguye que los matemáticos que han escrito libros de texto perderán dinero si se demuestra que están equivocados: por tanto lucharán contra cualquier argumento que se les oponga. Otros ciclómetros tienen más que una dosis saludable de paranoia y creen que hay matemáticos y científicos que han estado ocultando el «valor real de pi»-quizás porque al igual que los francmasones sienten la necesidad de guardar la verdad para ellos.

Y muchos otros ciclómetros sencillamente piensan que la comunidad matemática no está preparada para tan importantes tareas. Como escribió el cuadrador del círculo Lawrence Cavender en su obre de 1967 Unique mathematical Geometrical Findings:  «¿Por qué no descubrieron estas verdades los matemáticos en el pasado? Primero, porque no abordaron estos métodos de solución de la manera apropiada; segundo, nadie osaría ni siquiera considerar que era posible que los grandes matemáticos hubieran errado en estas cuestiones. » Cavender, desde luego, se atrevió y abordó el problema, pero con poco provecho a largo plazo.

A los sofistas de la antigua Grecia les atrajo la idea de cuadrar el círculo. Insistieron en que la solución dependía de encontrar un húmero que representara a la vez un círculo y un cuadrado. Un cuadrado, quiere decir el cuadrado de un segundo número; y un círculo, quiere decir que el número terminaría en el mismo digito que ese segundo número. Por ejemplo, 36 es un cuadrado de 6 y termina en el número 6.

Debe ser en extremo difícil para los cuadradores del círculo argumentar día a día en contra de quienes sostienen las verdades establecidas, insistiendo en que tienen la razón y que todos los otros matemáticos están evidentemente equivocados. Desde luego que hay un cierto orgullo en enfrentarse en tanto  individuos a una institución, con la esperanza de demostrar que alguien con una buena idea y perseverancia puede llegar hasta la cima. Desafortunadamente, cuando se trata de las matemáticas, la «buena idea» de los cuadradores del círculo, mezclada con su industriosa perseverancia, tiende a ser una recta más adecuada para hacer el ridículo que para ganar conocimiento.

Sobre la aseveración del siglo XVIII de que cuadrar el círculo es la clave para entender el problema de la longitud, Augustus de Morgan escibió en su obra A Budget of Paradoxes: «a veces un ciclómetro persuade a un capitán, quien ha hecho tierra en el lugar equivocado, de que los astrónomos hicieron mal en usar una medida equivocada del círculo; ¡y el capitán la considera una solución muy cómoda! Y esto es todo  lo que el problema puede llegar a tener que ver con la longitud.»

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₁₀ Ptolomeo I, quien reinó del 304 al 285 a. C. en Egipto, terminó el proyecto de Alejandro Magno de fundar una ciudad que hasta el día de hoy se llama Alejandría. Se cree que el famoso Euclides enseño ahí matemáticas. No se conoce versión de la obra los Elementos de Euclides que date de la época en que originalmente fue escrita (ca. 300 a.C.), pero eclipsó a todos los trabajos previos sobre aritmética y geometría. Así, en cuanto al problema de la cuadratura del círculo, aunque se hace referencia a él –(por ejemplo, Aristófanes había satirizado dicho problema en la obra de Las aves)- y se sabe de algunos intentos por resolverlo-(e.g., Anaxágoras de Clazomene, 500-428 a.C., Antufón y Brisón, ca. Finales del siglo V a.C.)- antes Euclides, cuando se dice «en el sentido euclidiano» que significa que el problema debe resolverse usando un número finito de veces la regla y el compás respectivamente para trazar una recta por dos puntos dados y una circunferencia estando dados su centro y su radio. La tradición informa que fue Platón (429-348 a.C.) quien insistió en la imposición de estas condiciones. (Como en los Elementos de Euclides  no se menciona ningún instrumento geométrico, también suele decirse que el problema debe resolverse en un número finito de pasos en los que intervengan solamente rectas y circunferencias.) [N.T.]
₁₁ Véase la nota anterior.

*Bibliografía:
El encanto de /Blatner, David; trad. De Rodrigo Cambray-Núñez- México: SEP: Aguilar: Altea: Tauros: Alfaguara, 2003, 144 p.- (Libros del Rincón) ISBN: 970-741-942-3 SEP